Propriétés des inverses de matrices - Corrigé

Énoncé

Soit les matrices  \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\2&3 \end{pmatrix}\)  et  \(B=\begin{pmatrix} 5&1\\8&2 \end{pmatrix}\) .

1. Calculer les déterminants de  \(A\)  et  \(B\) .

2. Justifier que  \(A\)  et  \(B\)  sont inversibles et calculer  \(A^{-1}\)  et  \(B^{-1}\) .

3. La matrice  \(C=AB\)  est-elle inversible ? Si oui, exprimer  \(C^{-1}\)  en fonction de  \(A^{-1}\)  et  \(B^{-1}\) .

4. Soit `D`   la matrice égale à  \(A+B\) .  \(D\)  est-elle inversible ?

Solution

1. \(\text {det}⁡ (A)=1×3-2×2=-1\)
\(\text {det}⁡(B)=5×2-1×8=2\)

2. \(\text {det}⁡(A)≠0\)  donc  \(A\)  est inversible et  \(A^{-1}=\begin{pmatrix} -3&2\\2&-1 \end{pmatrix}\)
\(\text {det}⁡ (B)≠0\)  donc  \(B\)  est inversible et  \(B^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-0,5\\-4&2,5 \end{pmatrix}\)

3. \(C\)  est inversible et  \(C^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) .

4.  \(D=\begin{pmatrix} 6&3\\10&5 \end{pmatrix}\) n'est pas inversible car  \(\text {det}⁡(D)=6×5-3×10=0\) .